1 前言
传统的确定性设计优化方法已经在工程实际当中得到广泛应用。商业化CAD/CAM数字软件也纷纷采用了优化设计的理念。在产品开发、设计、制造过程中进行设计优化，可以对资源进行合理配置，从而有效地降低产品设计制造的成本。
然而传统确定性设计优化方法未考虑产品在设计、制造、服役过程中的不确定性因素，产品的各项参数通常位于性能约束的极限状态边界上。当产品参数在制造、服役过程中发生轻微波动时，将会出现失效的情况。
在工程实际当中，传统的处理不确定性因素的方法为安全系数法。以应力-强度模型为例，在确定性设计优化中，应力σ小于强度S时，则认为是可行设计，采用安全系数之后，应力σ乘以系数n小于强度S：σn<S，则认为是可行设计。该方法的关键为安全系数的选取，通常情况下，n的大小依据经验进行设置。在齿轮、梁、螺栓等特殊结构中，可以依据应力、强度的力学分布进行安全系数n的计算；对于复杂机械产品，应力、强度均为隐式函数的情况，安全系数的求解将会变得十分困难。
可靠性是指产品在规定时间、规定工作条件下满足特定功能要求的程度。在提倡节能环保、绿色制造的今天，基于可靠性的设计优化（Reliability-based Design Optimization：RBDO）也迎来了一个大发展的时期。将可靠性设计优化与CAD/CAM等数字化技术相结合，对产品设计、制造、服役过程中的不确定性因素进行精确考量，能够保证产品在满足可靠性要求的前提下，优化资源配置，从而得出合理的结果。
2 可靠性设计优化途径
可靠性设计优化是处理不确定性优化的有效途径。早期的可靠性方法是由安全系数法演变而来，以应力-强度干涉模型为例，应力和强度的差值与应力方差的比率即为可靠度指标
可靠度指标=(强度-应力)/应力方差 （1）
此类方法主要用来对设计方案进行可靠性评估。
针对可靠性设计优化的研究工作主要集中在可靠性分析、可靠性优化耦合策略两大块内容。
2.1 可靠性分析
可靠性分析对给定的设计方案，评估它的可行性、失效概率等。最常用的方法有一阶可靠性方法（First Order Reliability Method：FORM）和二阶可靠性方法（Second Order Reliability Method：SORM）。一阶可靠性方法利用直线对概率约束边界进行逼近，它的计算成本低，操作方便，适用于线性和非线性程度不高的问题。二次可靠性方法利用二次函数近似极限状态约束边界，它在精度上有所提高，但其计算过程更加复杂、计算成本更高。
Hasofer和Lind提出了基于最大可能失效点（Most Probable Point：MPP）的方法。该方法从性能约束函数的内部进行分析，而不是将概率约束作为一个整体进行评估。它的优点在于建立了性能函数可靠度与设计变量之间的直接联系。在标准正态空间中，寻找概率约束极限状态边界与设计点之间的最短距离，具有最短距离的点即为MPP点，该点在可行域内具有最大的失效概率。MPP方法极大地简化了可靠性分析的过程。在工程实际当中，可靠性分析方法广泛采用了MPP的思想，典型的有可靠度指标法（Reliability Index ApprOAch：RIA）和性能测度法（Performance Measure Approach：PMA）。
在可靠度指标法中，优化目标为最小化设计点d与极限状态边界G(u)=0之间的距离βa，如图1所示。该方法存在如下问题：寻优空间可能出现非常大的情况；当设计点分别位于可行域和失效域时，最短距离βa将存在正负两种情况。因而可靠度指标法在求解MPP过程中，容易出现βa无穷大或者正负符号混淆的情况。
图1 可靠度指标法
性能测度法也称为逆可靠性分析方法。它将可靠度指标法中目标和约束的位置互换，将MPP搜索空间限制在可靠度指标面上：β=βt，目标为寻找功能函数的最小值Gk，如图2所示。该方法的优点是它有效地控制了MPP搜索空间的大小，提高了可靠性分析的鲁棒性。在通常情况下，它的求解性能优于可靠度指标法。
图2 可靠度指标法
可靠度指标法和性能测度法分别建立了可靠性分析模型，两种模型均属于带约束的优化问题，求解方法可以采用经典的优化方法，如序列线性规划、序列二次规划、梯度法等。
Choi等提出了可靠性分析的混合均值法。它对于凸约束函数问题采用梯度法进行迭代求解；对于凹约束函数问题采用先进均值法进行迭代求解。混合均值法具有很好的求解效率，因而在工程实际当中广泛采用。
杜小平、陈卫等提出了可靠性分析的圆弧搜索算法，该方法在迭代求解中，采用了一维搜索的思想降低计算成本。
陈振中、邱浩波、高亮等提出了可靠性分析的最优化偏移向量法，该方法建立了可靠性分析新模型，同时将极限状态边界和可靠度指标面作为约束，从而有效地避免了高度非线性约束所带来的影响，提高了可靠性分析的精度。
上述可靠性分析的解析方法具有操作方便、计算效率高，但其求解结果具有一定的误差，这是由于MPP思想本身所带来的影响。计算机模拟方法如蒙特卡洛法（Monte Carlo Simulating：MCS）、重要抽样法（Importance Sampling：IS）、线抽样、方向抽样等具有较好的求解精度，但该类方法计算成本过高，通常只用来对结果进行验证比较。
2.2 可靠性设计优化的耦合策略
可靠性设计优化属于带约束的优化问题，它同时要处理确定型变量、随机变量和随机参数等，因而它的求解过程非常复杂。在该类问题中，约束函数是以概率形式出现的，可靠性分析循环与优化循环两部分内容之间的关系如何处理关系到整个方法的计算效率。目前有三种耦合策略：双循环法、单循环法、解耦法。双循环法在优化循环中嵌套可靠性分析循环，如图3所示。该类方法为早期的可靠性解耦策略，如可靠度指标法和性能测度法均采用双循环结构，该类方法求解效率较低。
图3 双循环法
单循环法利用库恩-塔克最优条件对可靠性分析循环进行替换，从而只剩下一个优化循环。由于单循环法中可靠性分析过于简单，因而它的适用范围较窄，对于高度非线性问题，容易出现无法收敛的情况。
解耦方法是目前最为合理的可靠性设计优化结构。如图4所示，在解耦方法中，可靠性分析循环和优化循环序列进行，从而有效地避免了不必要的计算成本，同时保证了求解精度。如杜小平和陈卫提出了序列优化与可靠性评估方法（Sequential Optimization and Reliability Assessment：SORA），将概率优化问题转化为确定性优化问题。陈振中、邱浩波、高亮等提出自适应解耦方法（Adaptive Decoupling Approach：ADA）和最优偏移向量法（Optimal Shifting Vector：OSV）对解耦方法进行进一步发展。自适应解耦方法提出了活动约束集的概念，对处于不同可行状态的概率约束分别采用不同精度可靠性分析方法，从而使得可靠性分析更加有的放矢。最优偏移向量提出了求解MPP的可靠性分析新模型，该方法降低了高度非线性问题所带来的影响。
图4 解耦法
2.3 替代模型方法
在工程实际当中，很多问题都具有隐式特点，如计算机有限元仿真分析或者物理实验。直接对隐式函数进行调用，成本过于高昂，因而采用替代模型十分必要。
比较成熟的替代模型有多项式响应面、移动最小二乘、径向基神经网络、支持向量机、克里金等。其中克里金模型因其独特性能而获得了广大学者们的认可。替代模型新技术如变精度模型、高维模型表达、模型聚合等致力于降低高维度问题的拟合成本。
随着替代模型研究的深入，抽样技术也越来越引起学者们的重视。如陈振中、邱浩波、高亮等提出的自适应局部抽样方法，利用可靠性设计优化本身的特点与抽样技术相结合，从而有效地提高抽样的效率。
3 总结与探索
可靠性设计优化作为一种解决不确定性问题的有效手段，将逐渐成为产品数字化设计制造的发展趋势之一，它可以有效地提高CAD/CAM数字化能力。然而可靠性设计优化依然有诸多工作需要进一步研究：高效高精度可靠性分析方法，解析方法虽然具有较高的求解效率，然而因其采用MPP思想，对于高度非线性问题必然存在一定的误差。模拟方法具有很高的求解精度，其昂贵的计算成本限制了它在工程实际当中的推广应用，所以研究高效高精度的可靠性分析方法是可靠性设计优化的必然。
随着计算机技术的发展，并行计算、云计算将会为可靠性设计优化带来新的活力，如何利用计算机新技术研究可靠性解耦新策略将是今后一段时间可靠性研究的方向。
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